Miniatury matematyczne 77 (Aksjomat Toruń)

W kolejnej miniaturze powracamy do rozważań związanych z polem figury. Nie będziemy badali wzorów na pola poszczególnych wielokątów. Problem ten jest niełatwy, między innymi ze względu na wczesny etap matematycznej nauki. Z tego powodu zajmiemy się porównywaniem pól wielokątów. Oczywiście nie będziemy zajmować się pogłębioną analizą samego pojęcia pola. Potraktujemy je w naturalnym i nieco instynktownym rozumieniu, tak jak to czyni się w trakcie początkowej nauki szkolnej matematyki. Zajmiemy się niezwykle polem wielokąta, przede wszystkim problemami wynikającymi ze sławnego twierdzenia Farkasa Bolyaia i Paula Gerwiena, które odkryli niezależnie w roku 1833.

Jeżeli dwa wielokąty posiadają równe pola, to zawsze można jeden w nich podzielić na skończoną liczbę takich wielokątów, żeby z nich można było ułożyć drugi wielokąt.

Twierdzenie to pozwala porównywać pola wielokątów bez obliczania tych pól. Warto zauważyć, że aby stwierdzić, iż dwa wielokąty posiadają równe pola, starczy podzielić każdy z tych wielokątów na mniejsze wielokąty, tak żeby każdy z tych podziałów miał tyle samo komponentów i aby każdy wielokąt jednego podziału można nałożyć na pewien wielokąt drugiego podziału, tak aby się pokrywały i by te wielokąty w parach wyczerpywały wszystkie wielokąty w obydwu podziałach.

Oznacza to, że wziąwszy na przykład kwadrat wraz z danym jego podziałem możemy opisywać wielokąty o tym samym polu, dla których istnieje podział złożony z takich samych wielokątów jak podział kwadratu. Czasami te problemy pojawiają się w zadaniach zabawowych, aczkolwiek wcale technologicznie trudnych, przykładem takich problemów są tangramy Będziemy rozważać wielokąty, najczęściej w miarę proste, wraz
z ich podziałem i starać się będziemy opisywać wielokąty posiadające taki sam podział. Zwracamy uwagę na fakt, iż w początkowym etapie nauki matematyki przy wyprowadzaniu wzorów na pola nieco bardziej złożonych wielokątów korzystaliśmy z metody podziału takich wielokątów na mniejsze wielokąty i składaliśmy z nich wcześniej poznane wielokąty. Warto więc przećwiczyć tę metodę na bardziej trudnych przykładach, tym bardziej że z podobnymi problemami spotykamy się na wielu konkursach matematycznych. Niejednokrotnie układane wielokąty z elementów danego podziału przypominają figury albo postacie spotykane w innych sytuacjach – postacie zwierząt, litery, figury szachowe itp – wówczas nie podkreślamy tego,budujemy wielokąty. Podobnie w odpowiedziach i w rozwiązaniach zadań nie staramy się zawsze zachowywać rozmiarów poszczególnych komponentów podziału, zwykle zwracamy uwagę na zarys otrzymywanych wielokątów, chociaż powinniśmy kreować wielokąty o danym polu W odpowiedziach i rozwiązaniach, istotnie w rozdziałach II i III, nieraz nie uzasadniamy poprawności odpowiedzi tzn. Czy posiadają one żądane własności. Ograniczamy się tylko do manualnego sprawdzenia spełnienia warunków rozwiązania.

Na końcu miniatury dodajemy szereg kartek z umieszczonymi na nich wielokątami, które wcześniej spotkaliśmy w omawianych zadaniach oferujemy Czytelnikowi sprawdzenie przy ich pomocy prawdziwości zamieszczonych odpowiedzi i być może poszukanie innych rozwiązań tych zadań.