Miniatury matematyczne 82 (AKSJOMAT TORUŃ)

Na niniejszą książeczkę składają się trzy niezależne artykuły. Niewątpliwym bohaterem pierwszego z nich jest trójkąt równoboczny, lecz nie jest to charakterystyka. Autor nie przedstawia tu rozlicznych i skądinąd szczególnie niebanalnych własności tej figury, lecz tropi jej czasami mocno ukrytą występowanie w rozlicznych konfiguracjach geometrycznych. Nie ma żadnej przesady w tytule. Zapoznając się z kolejnymi przykładami, czujemy się jak na pokazie magii, tyle że zamiast królików z kapelusza wyłaniają się trójkąty równoboczne. A jak już je zauważymy, to pozornie chaotyczna sytuacja nabiera ładu i widać, jak znaleźć rozwiązanie.

Drugi artykuł dotyczy „sprawiedliwego" podziału przysłowiowego tortu. Tort oznacza tu dowolne dobro, które nie może być matematycznie podzielone na równe części. W sytuacji podziału na dwie części powszechnie znana jest procedura, która można streścić jako „jeden dzieli, drugi wybiera". Opis jej użycia znajdujemy już w Biblii. Tak właśnie Abraham i Lot podzielili pomiędzy siebie krainę Kanaan. Sprawa komplikuje się jednak, gdy podziału należy dokonać pomiędzy pokaźniejszą liczbę osób albo gdy próbujemy podzielić dobra z natury nierozłączne. Jak na przykład dwóch kolegów powinno podzielić między siebie komputer i rower?

na pewno są to problemy o pokaźnym znaczeniu praktycznym. Można jedynie posiadać wątpliwość, czy to jeszcze są problemy matematyczne. Problemami tymi zajął się na serio polski matematyk Hugo Steinhaus, który słynął z zainteresowania zadaniami leżącymi na styku matematyki, innych dziedzin wiedzy i działalności użytecznej. Śmiało można go nazwać współtwórcą współczesnej matematyki używanej. Artykuł w dostępnej formie pokazuje rozwiązania problemu podziału zaproponowane poprzez Steinhausa i innych matematyków.

Trzeci, ostatni artykuł dotyczy prostokątnego układu współrzędnych. Przylgnęła do niego nazwa kartezjańskiego układu współrzędnych od nazwiska pokaźnego, siedemnastowiecznego filozofa i matematyka Ren´e Descartes’a zwanego w dodatku Kartezjuszem. Legenda głosi, iż wpadł on na pomysł układu, gdy leżąc w łóżku, obserwował muchę chodzącą po suficie i zastanawiał się, jak najprościej opisać komuś aktualne położenie muchy. Miał wówczas dojść do wniosku, iż położenie najlepiej opisać, podając odległości muchy od dwóch sąsiednich ścian. Ile jest prawdy w tej legendzie?

Z jednej strony wydaje się, iż podobne pomysły pojawiały się to tu, to tam pokaźnie wcześniej. Z drugiej strony, na próżno szukać w dziele Kartezjusza o geometrii typowego obrazka z dwiema prostopadłymi osiami. Trzeba było pracy jeszcze jednego pokolenia matematyków, żeby pomysły przyjęły znany nam dzisiaj kształt.

Układ współrzędnych ułatwił rozwiązanie wielu problemów poręcznych,najczęściej pozwolił dopasować na nowo rozmaite działy matematyki. Już w matematyce starożytnej Grecji można wyszczególnić geometrię i arytmetykę, lecz stanowiły jeszcze pewną całość. Matematycy tego czasu swobodnie używali metod geometrycznych do rozwiązania problemów arytmetycznych i odwrotnie. Wieki rozwoju oddaliły te dwa filary matematyki od siebie. Wprowadzenie układu współrzędnych pozwoliło odnaleźć nowe, twórcze powiązanie pomiędzy nimi, które w krótkim czasie zaowocowało stworzeniem zupełnie nowych narzędzi matematycznych (np. W postaci rachunku różniczkowego i całkowego).

Autorka artykułu demonstruje liczne przykłady elementarnych problemów geometrycznych, których rozwiązanie ułatwia wykorzystanie współrzędnych, także jedno z tych mniej oczywistych powiązań między geometrią i arytmetyką, których odkrycie umożliwiło użycie układu współrzędnych. Chodzi tu o twierdzenie Picka, które sprowadza obliczanie pola pewnych wielokątów do liczenia szczególnych punktów na płaszczyźnie (tzw. Punktów kratowych ).