Podstawy ekonomii matematycznej

Tytuł Podstawy ekonomii matematycznej Autor Stanisława Kanas Język polski Wydawnictwo Wydawnictwo Naukowe PWN ISBN 978-83-01-16550-5 Rok wydania 2011 Warszawa Wydanie 1 liczba stron 496 Format pdf Spis treści Wstęp XI 1. Kompozycja modelu matematycznego 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta 4 2.1. Zbiory. Relacje 4 2.2. Relacja preferencji 7 2.3. Zbior budżetowy 13 2.4. Przykłady dwuargumentowych preferencji 16 2.5. Zadania 19 3. Liczby zespolone 25 3.1. Definicje i podstawowe własności 25 3.2. Postać algebraiczna (kartezjańska) liczby zespolonej 26 3.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 28 3.4. Postać wykładnicza liczby zespolonej 32 3.5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 33 3.6. Wielomiany zespolone 36 3.7. Zadania 38 4. Macierze. Wyznaczniki macierzy 42 4.1. Macierze, działania na macierzach 42 4.2. Wyznacznik macierzy kwadratowej 46 4.3. Macierz odwrotna 50 4.3.1. Liniowa niezależność wektorow 51 4.4. Rząd macierzy 52 4.5. Potęga i eksponens macierzy. Metoda Jordana 54 4.5.1. Wartości i wektory własne macierzy 55 4.5.2. Diagonalizacja macierzy 56 4.5.3. Potęgowanie, eksponens macierzy 57 4.6. Zadania 61 5. Układy rownań liniowych 67 5.1. Pojęcia podstawowe 67 5.2. Układ Cramera 68 5.3. Rozwiązanie dowolnego układu liniowego 70 5.4. Metoda badania rzędów macierzy 74 5.5. Układy jednolite 76 5.6. Zadania 77 6. Modele równowagi rynkowej 83 6.1. Częściowa równowaga rynkowa 84 6.1.1. Liniowy model rynku, przypadek jednego towaru 84 6.1.2. Model nieliniowy, przypadek jednego towaru 86 6.2. Ogólna równowaga rynkowa 86 6.2.1. Model rynku dwóch towarów 87 6.2.2. Model rynku n towarów 87 6.3. Model input-output (nakładów i wyników). Model Leontiefa 88 6.3.1. Równania bilansowe międzygałęziowej produkcji globalnej 89 6.3.2. Równania bilansowe kosztów 91 6.3.3. Współczynniki wydajności cyklu gospodarczego 94 6.3.4. Macierz struktury kosztów 95 6.3.5. Model zamknięty 98 6.4. Użycia 100 6.4.1. Wyznaczenie poziomu produkcji. Opłacalność produkcji. Nakład pierwotny 100 6.4.2. Wyznaczenie produktu końcowego 100 6.4.3. Wzrost towaru końcowego 101 6.4.4. Wzrost poziomu produkcji 101 6.4.5. Określenie wielkości nakładów pracy 102 6.4.6. Analiza nakładów i wyników w przedsiębiorstwie 103 6.4.7. Określenie poziomu produkcji producenta 104 6.4.8. Zapotrzebowanie produkcyjne na materiały i energię 105 6.4.9. Plan wykorzystania sprzętów i maszyn 106 6.4.10. Określenie zatrudnienia 106 6.5. Zadania 107 7. Funkcje jednej zmiennej 113 7.1. Granica funkcji jednej zmiennej 113 7.1.1. Asymptoty funkcji 117 7.1.2. Ciągłość funkcji 119 7.1.3. Pochodna funkcji 122 7.2. Użycia pochodnych. Reguła de l’Hospitala 126 7.3. Monotoniczność, ekstrema lokalne i globalne funkcji 127 7.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia. Badanie przebiegu funkcji 131 7.5. Ekonomiczne charakterystyki funkcji jednej zmiennej 134 7.5.1. Wielkości przeciętne, krańcowe funkcji 134 7.5.2. Wartość jednostkowa funkcji 136 7.5.3. Rozciągliwość funkcji 138 7.5.4. Tempo wzrostu funkcji 141 7.6. Zadania 142 8. Rachunek całkowy 148 8.1. Całka nieoznaczona 148 8.1.1. Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych 149 8.1.2. Metoda całkowania przez części i poprzez podstawienie 150 8.1.3. Całki funkcji wymiernych 151 8.1.4. Całki funkcji trygonometrycznych 155 8.1.5. Całki wybranych funkcji niewymiernych 157 8.2. Całka oznaczona 158 8.3. Całka niewłaściwa 161 8.4. Zastosowania w ekonomii 163 8.5. Zadania 169 9. Funkcje wielu zmiennych 174 9.1. Pojęcia wstępne 174 9.2. Granica funkcji w punkcie 176 9.2.1. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 177 9.2.2. Gradient. Pochodna kierunkowa 179 9.2.3. Różniczka funkcji 181 9.2.4. Ekstrema lokalne funkcji 182 9.2.5. Ekstremum warunkowe funkcji 185 9.2.6. Ekstremum globalne funkcji wielu zmiennych 186 9.3. Funkcje uwikłane 187 9.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji wielu zmiennych 189 9.4.1. Prosty model zamiany. Prostokąt Edgewortha 194 9.5. Zadania 197 10. Funkcje wypukłe, wklęsłe, quasi-wypukłe i quasi-wklęsłe 202 10.1. Funkcje wypukłe i funkcje wklęsłe 202 10.2. Funkcje quasi-wypukłe, a także quasi-wklęsłe 209 10.3. Zadania 216 11. Funkcje dyskretne 219 11.1. Pojęcia podstawowe 219 11.2. Rachunek różnicowy 219 11.3. Operator antyróżnicowy 223 11.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji dyskretnych 228 11.5. Zadania 230 12. Zagadnienia optymalizacji wypukłej 232 12.1. Wiadomości wstępne 232 12.1.1. Sformułowanie zagadnienia 233 12.1.2. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej 235 12.1.3. Optymalizacja funkcji wielu zmiennych 236 12.2. Metoda nieokreślonych mnożników Lagrange’a 238 12.2.1. Program nieliniowy w postaci typowej 245 12.3. Warunki i twierdzenie Karusha--Kuhna--Tuckera 245 12.4. Zastosowania 251 12.4.1. Prosty model wymiany, prostokąt (skrzynka) Edgewortha 251 12.4.2.Model Arrowa--Hurwicza 253 12.4.3.Model Arrowa--Debreu--McKenziego 257 12.5. Zadania 264 13. Funkcja funkcjonalności, popytu, podaży i kosztu 268 13.1. Funkcja ergonomiczności 268 13.1.1. Przykłady funkcji poręczności 268 13.1.2. Podstawowe własności funkcji praktyczności 271 13.1.3. Charakterystyki funkcji poręczności 272 13.2. Maksymalizacja funkcjonalności konsumpcji (MUK) 276 13.3. Funkcja popytu konsumenta 279 13.3.1. Charakterystyki funkcji popytu 280 13.4. Funkcja kosztu 284 13.5. Zadania 285 14. Funkcja produkcji 291 14.1. Skalarna funkcja produkcji 291 14.1.1. Typowe założenia o skalarnej funkcji produkcji (postulaty funkcji produkcji) 292 14.1.2. Przykłady funkcji produkcji 293 14.2. Funkcja produkcji CES 294 14.3. Szczególne przypadki funkcji CES 300 14.3.1. Dwuargumentowa liniowa funkcja produkcji 300 14.3.2. Dwuargumentowa funkcja produkcji Cobba--Douglasa 302 14.3.3. Dwuargumentowa funkcja produkcji Koopmansa--Leontiefa 303 14.4. Inne funkcje produkcji 305 14.5. Długotrwała strategia przedsiębiorstwa (DSR) 306 14.5.1.Maksymalizacja zysku (MZ) 307 14.5.2.Minimalizacja kosztów (MK) 309 14.5.3. Optymalizacja wielkości produkcji (OP) 310 14.6. Krótkookresowa strategia przedsiębiorstwa (KSR) 312 14.7. Zadania 314 15. Równania różniczkowe 320 15.1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego 321 15.1.1.Metoda uzmienniania stałej 324 15.1.2.Metoda przewidywań 325 15.1.3. Równanie Bernoulliego 326 15.2. Równania różniczkowe rzędu drugiego 327 15.2.1. Równania liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach 330 15.3. Równanie różniczkowe k-go rzędu o stałych współczynnikach 331 15.4. Stabilność równań różniczkowych. Linearyzacja 336 15.5. Wykorzystania równań różniczkowych 342 15.5.1. Procenty składane 342 15.5.2.Model wzrostu Domara 342 15.5.3.Model Solowa 345 15.5.4. Rozwoj populacji. Model Malthusa 348 15.5.5.Model Verhulsta (logistyczny). Rozwój populacji z uwzględnieniem obszerności środowiska 349 15.5.6.Model Gompertza 351 15.5.7.Model Ludwiga rozwoju populacji 352 15.5.8. Badanie przyczyny rozwodów 353 15.5.9. Prosty model rynku 353 15.5.10. Model rynku z określoną tendencją zmiany cen 354 15.5.11. Zależności między bezrobociem i inflacją, model Phillipsa 356 15.6. Zadania 358 16. Równania różnicowe 365 16.1. Równania różnicowe. Podstawy 365 16.1.1. Liniowe równanie różnicowe rzędu pierwszego 369 16.1.2. Liniowe równanie rzędu k-go o stałych współczynnikach 371 16.1.3.Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego o stałych współczynnikach. Metoda uzmienniania stałych 374 16.1.4.Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego o stałych współczynnikach. Metoda przewidywań 376 16.2. Transformata Z 378 16.3. Stabilność i linearyzacja nieliniowych równań różnicowych 381 16.4. Użycia równań różnicowych 383 16.4.1.Przyrost populacji w ujęciu dyskretnym. Model Malthusa 383 16.4.2.Dyskretny model Verhulsta 384 16.4.3.Model Fibonacciego 385 16.4.4.Model pajęczynowy 386 16.4.5.Rynek z określoną tendencją zmiany cen 388 16.4.6.Model dochodu narodowego Samuelsona (model mnożnika i akceleratora) 389 16.4.7.Model przepustowości. Teoria kolejek 390 16.5. Zadania 393 17. Układy równań różniczkowych zwyczajnych 397 17.1. Układy równań różniczkowych. Wiadomości wstępne 397 17.1.1.Metoda eliminacji 397 17.2. Układy równań różniczkowych liniowych 399 17.2.1.Rozwiązanie ogólne układu jednolitego 402 17.2.2.Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda Eulera 406 17.3. Stabilność i asymptotyczna stabilność układów równań różniczkowych 411 17.4. Linearyzacja nieliniowych układów równań różniczkowych 414 17.5. Zastosowania układów równań różniczkowych 417 17.5.1.Ciągły model Leontiefa nakładów i wyników w procesie produkcji 417 17.5.2.Model nakładów i wyników obejmujący akumulację zapasów 418 17.5.3.Model Arrowa--Hurwicza 419 17.5.4.Model Arrowa--Debreu--McKenziego 420 17.5.5.Model inflacji i polityki monetarnej Obsta 422 17.5.6.Model Lotki--Volterry (model konkurencji) 422 17.5.7.Uogolniony model Lotki--Volterry 424 17.5.8.Model epidemii Kermacka--McKendricka 425 17.5.9.Model „Romeo i Julia" 427 17.5.10. Układy o jednym (wielu) wejściu i wyjściu 428 17.6. Zadania 428 18. Układy równań różnicowych 434 18.1. Układy równań różnicowych. Wiadomości wstępne 434 18.1.1.Metoda eliminacji 434 18.1.2.Układy równań różnicowych liniowych 436 18.1.3.Metoda uzmienniania stałych wyznaczania rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego 439 18.2. Układy równań różnicowych liniowych o stałych współczynnikach 440 18.3. Stabilność rozwiązania układu równań różnicowych 444 18.4. Wykorzystania układów równań różnicowych 446 18.4.1.Model rynku 446 18.4.2.Dyskretny model Arrowa--Hurwicza 446 18.4.3.Dyskretny model Leontiefa 447 18.4.4.Model nakładów i wyników obejmujący akumulację zapasów 448 18.4.5.Dyskretny model oddziałujących populacji 448 18.4.6.Układy o jednym (wielu) wejściu i wyjściu 452 18.5. Zadania 453 Bibliografia 457 Wykaz symboli 459 Skorowidz 461