Miniatury matematyczne 58 o rysowaniu stycznych (Aksjomat Piotr Nodzyński)

Oddajemy do dłoni Czytelników kolejny tomik Miniatur Matematycznych, konwencjonalnie przygotowany przez Komitet Organizacyjny Międzynarodowego Konkursu Kangur Matematyczny. Niniejsza książeczka dedykowana jest głównie młodzieży szkół gimnazjalnych, lecz liczymy także na to, że i nauczyciele znajdą w niej ciekawy materiał do użycia w pracy z uczniami nad wyraz zainteresowanymi matematyką i pragnącymi treści nauczane w szkole zobaczyć w szerszym kontekście.

Niniejszy tomik składa się z trzech artykułów, które dotyczą matematyki w czystej formie, czyli arytmetyki i geometrii. Obie te,,nauki" należą do najstarszych i stanowią podwalinę całej dzisiejszej matematyki.

Wyrosły one w czasach starożytnych jako odpowiedź na potrzebę stworzenia uniwersalnego języka do opisu spraw związanych z życiem rutynowym takich jak na przykład budownictwo świeckie i sakralne (geometria) czy opracowywanie wyników pomiaru kształtów geometrycznych lub handel (arytmetyka).

Z biegiem czasu zostały wyabstrahowane z kontekstu zastosowań i stały się same w sobie celem rozważań. Pierwsza miniatura dotyczy zagadnienia znanego ze szkoły, mianowicie konstrukcyjnego wyznaczania stycznych do okręgu przechodzących przez ustalony punkt znajdujący się na zewnątrz koła wyznaczonego poprzez ten okrąg.

Temat jest omawiany na lekcjach matematyki. Okazuje się jednak, iż konstrukcje szkolne to jedynie nieduża część całego zbioru różnorakich sposobów rozwiązania tego problemu. W artykule przedstawiono aż czternaście konstrukcji, większość wraz z uzasadnieniem ich poprawności.

Obok tradycyjnych konstrukcji platońskich, to znaczy przeprowadzanych z wykorzystaniem cyrkla i linijki, znalazły się także takie, które można wykonać przy użyciu samego cyrkla albo samej linijki. Kolejna miniatura, to arytmetyczna pauza między,,lekcjami" geometrii.

Traktuje o kongruencjach liczbowych i ich własnościach i wykorzystaniach do wyznaczania reszt z dzielenia liczb całkowitych przez ustalone liczby naturalne. W dostępny sposób wprowadza język kongruencji, zaczynając od kongruencji o module 10, która ze względu na swoją interpretację związaną z zapisem liczb w systemie dziesiątkowym, wyśmienicie ilustruje ogólne własności.

Dodatkowym walorem tego artykułu jest nad wyraz znaczna ilość mocnych przykładów, które pokazują na czym polegają poprawnieści opisane językiem wyrażeń algebraicznych. Ostatnia miniatura to, jak już wspomnieliśmy, kolejna lekcja geometrii, podobnie jak pierwszy artykuł poszerzająca wiedzę znaną ze szkoły.

Dotyczy pojęcia potęgi punktu względem okręgu, które ukryte jest w szkole w twierdzeniu o stycznej i siecznej. W artykule zaprezentowano różnorodne twierdzenia związane z tym pojęciem i z pojęciem prostej potęgowej dwóch niewspółśrodkowych okręgów.

W miniaturze tej Czytelnik znajdzie dodatkowo mnóstwo ciekawych zadań wraz z rozwiązaniami i kilka zadań do samodzielnego rozwiązania, wśród których najtrudniejsze zostały opatrzone wskazówkami.