Miniatury matematyczne 62 (AKSJOMAT Piotr Nodzyński)

Oddajemy do rąk Czytelników kolejny tomik Miniatur Matematycznych, klasycznie przygotowany poprzez Komitet Organizacyjny Międzynarodowego Konkursu Kangur Matematyczny. Niniejsza książeczka przeznaczona jest przeważnie młodzieży szkół gimnazjalnych, lecz liczymy również na to, że i nauczyciele znajdą w niej interesujący materiał do użycia w pracy z uczniami nad wyraz zainteresowanymi matematyką i pragnącymi treści nauczane w szkole zobaczyć w szerszym kontekście.
Niniejszy tomik składa się z trzech artykułów, które dotyczą matematyki w czystej formie, czyli arytmetyki i geometrii. Obie te nauki należą do najstarszych i stanowią podwalinę całej dzisiejszej matematyki. Wyrosły one w czasach starożytnych jako odpowiedź na potrzebę stworzenia uniwersalnego języka do opisu spraw związanych z życiem powszednim takich jak na przykład budownictwo świeckie i sakralne (geometria) czy opracowywanie wyników pomiaru kształtów geometrycznych lub handel (arytmetyka). Z biegiem czasu zostały wyabstrahowane z kontekstu zastosowań i stały się same w sobie celem rozważań.
Pierwsza miniatura dotyczy zagadnienia znanego ze szkoły, mianowicie konstrukcyjnego wyznaczania stycznych do okręgu przechodzących poprzez ustalony punkt znajdujący się na zewnątrz koła wyszczególnionego poprzez ten okrąg. Temat jest omawiany na lekcjach matematyki. Okazuje się jednak, że konstrukcje szkolne to jedynie śladowa część całego zbioru różnorakich sposobów rozwiązania tego problemu. W artykule przedstawiono aż czternaście konstrukcji, większość wraz z uzasadnieniem ich poprawności. Obok klasycznych konstrukcji platońskich, to znaczy przeprowadzanych z użyciem cyrkla i linijki, znalazły się także takie, które można wykonać przy użyciu samego cyrkla albo samej linijki.
Kolejna miniatura, to arytmetyczna pauza między lekcjami geometrii. Traktuje o kongruencjach liczbowych i ich własnościach oraz użyciach do wyznaczania reszt z dzielenia liczb całkowitych poprzez ustalone liczby naturalne. W przystępny sposób wprowadza język kongruencji, rozpoczynając od kongruencji o module 10, która ze względu na swoją interpretację związaną z zapisem liczb w systemie dziesiątkowym, świetnie ilustruje ogólne własności. Dodatkowym walorem tego artykułu jest nad wyraz pokaźna liczba solidnych przykładów, które pokazują na czym polegają dobrześci opisane językiem wyrażeń algebraicznych.
Ostatnia miniatura to, jak już wspomnieliśmy, kolejna lekcja geometrii, podobnie jak pierwszy artykuł poszerzająca wiedzę znaną ze szkoły. Dotyczy pojęcia potęgi punktu względem okręgu, które ukryte jest w szkole w twierdzeniu o stycznej i siecznej. W artykule zaprezentowano różnorodne twierdzenia związane z tym pojęciem oraz z pojęciem prostej potęgowej dwóch niewspółśrodkowych okręgów. W miniaturze tej Czytelnik wynajdzie jeszcze dużo niebanalnych zadań wraz z rozwiązaniami, a także kilka zadań do samodzielnego rozwiązania, wśród których najtrudniejsze zostały opatrzone wskazówkami.