Wybrane zagadnienia dynamiki układów niezachowawczych (Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej)

W książce omówiono układy dynamiczne, jakimi w szczególności są konstrukcje mechaniczne, szeroko używane w praktyce inżynierskiej. Fundamentalnie ważną cechą takich układów jest ich stabilność, przez inżynierów nazywana statecznością, ujęta jako odporność na zaburzenia stanów równowagi.

Za pierwowzór układów dynamicznych można uznać modele punktów materialnych w polu sił potencjalnych, na przykład opisujące układy ciał niebieskich. Są to zagadnienia o skończonej liczbie stopni swobody.

W tej książce natomiast rozpatrywane są układy ciągłe, reprezentujące ciała odkształcalne. Stąd wynika, że należy rozpatrywać funkcje zmiennej przestrzennej, a mianowicie przemieszczenie i prędkość, które razem definiują stan układu i podlegają ewolucji czasowej.

W celu badania ruchu ośrodka ciągłego formułuje się równania ruchu wraz z warunkami początkowymi i brzegowymi, które razem determinują przyszłą trajektorię każdej cząsteczki rozpatrywanego medium. W tym opracowaniu skupimy się na szczególnej klasie zagadnień, a mianowicie na zginaniu belek sprężystych, opisanych teorią Jacoba Bernoulliego, Leonarda Eulera i Daniela Jacobiego.

Równanie Bernoulliego-Eulera, oparte na hipotezie nieodkształconych włókien prostopadłych do linii środkowej belki, dotyczy w dodatku prętów i kolumn, o ile są one smukłe, a przekrój jest stały albo umiarkowanie zmienny.

w przypadku osiowo ściskanej kolumny już sam L. Euler opisał zjawisko utraty stateczności rozwiązania zerowego, podając analityczne wzory zarówno na siłę krytyczną, jak i na postać przemieszczeń powodujących ugięcie i ewentualnie zniszczenie kolumny.

Okazuje się,widoczny wpływ na wartość siły krytycznej, jak i na postać utraty stabilności, posiadają warunki brzegowe oraz obciążenia poprzeczne, zależne od przemieszczenia. Takimi obciążeniami są zwykle siły spowodowane odkształceniem podłoża, na przykład Winklerowskiego, lub podpór, w tym elastycznych, a także tłumiących, lepkosprężystych.

Warunki brzegowe to na ogół utwierdzenie kolumny na dolnym końcu kolumny, podczas gdy górny koniec może być luźny. Ciekawsze według autorów są takie warunki jak warunek Becka czy Reuta, które należą do obciążeń siłą śledzącą.

W takich przypadkach, w odróżnieniu od obciążeń siłą nieśledzącą, kierunek, moduł albo cząsteczka, do której przykładana jest siła, są zmienne. Na przykład przy kolumnie Becka na górny koniec kolumny działa oprócz siły osiowej, ściskającej o zadanym module, siła poprzeczna, taka, iż siła wypadkowa ma zawsze kierunek styczny do linii środkowej kolumny na jej końcu.

w przypadku układów z siłami śledzącymi analiza statyczna, bez uwzględnienia sił bezwładności, nie zezwala na uzyskania poprawnych wyników. Podejście takie w sytuacji konserwatywnego obciążenia, to jest warunków brzegowych Eulera, jest dopuszczalne.

Istnieje wtedy, przy krytycznej wartości siły, ścieżka stanów równowagi odchodząca od rozwiązania zerowego do dowolnie sporych wychyleń. Taki scenariusz utraty stabilności nosi nazwę dywergentnej utraty stateczności.

Początkowo mylnie sądzono, że skoro takiej opcji nie ma przy warunkach Becka, to kolumna Becka nie ma skończonej siły krytycznej. Okazuje się jednak, iż scenariusz jest inny, a siła krytyczna, ale kilkakrotnie wyższa od siły Eulera, ma wartość skończoną.

Kolumna Becka przy podkrytycznym poziomie obciążenia, lekko wytrącona ze stanu równowagi zerowego, będzie drgać, przy czym amplitudy każdej formy własnej pozostaną na za każdym razem takie same jak bezpośrednio po pobudzeniu.

Po przekroczeniu poziomu krytycznego co najmniej jedna z form własnych będzie miała rosnącą w czasie amplitudę. Taki sposób utraty stabilności, prowadzący do zniszczenia konstrukcji, nazywamy flutterem.

W książce wykazano, że nie tylko wyżej opisane objawy związane z utratą stabilności różnią układy z siłami śledzącymi od takich z obciążeniami konserwatywnymi. Ważny jest w dodatku fakt, iż w opisie matematycznym występują operatory niesamosprzężone, a po dyskretyzacji powstają macierze niesymetryczne, gdy analizujemy siły śledzące.

Kontynuując rozważania omówiono podstawowe atrybuty układów dynamicznych, przytaczając w celu ilustracji niemało lubianych, a także mniej znanych przykładów. Omówiono wstępnie równania i zjawiska, prezentując wykresy – bez wchodzenia na tym etapie w detale metod analizy i w sposoby uzyskiwania wyników.

Następnie zajęto się modelowaniem belek i kolumn, wyprowadzając równanie Bernoulliego-Eulera, a także omawiając pewne uogólnienia. Szczególną uwagę skupiono na takich elementach, jak podłoża i podpory, równocześnie elastyczne jak i tłumiące, i na warunkach brzegowych, w tym Eulera, Reuta i Leipholtza.

niezwykle ważny rozdział poświęcono omówieniu aparatu analitycznego i numerycznego. Metody rozwiązania równań algebraicznych, różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych wprowadzono, żeby je przedyskutować na wstępnych przykładach, a narzędzia dostosowano do potrzeb tej książki.

W kolejnym rozdziale rozpatrzono krzywe charakterystyczne układów opisujących modele poprzednio wprowadzone. Zastosowano przedstawione metody analityczne i numeryczne, uzyskując w ten sposób ważne wyniki dotyczące obiektów badań.

Zwrócono przy tym uwagę na wrażliwość wyników na zmiany informacji. Celem ostatecznym jest poprawa cechy badanych konstrukcji w sensie optymalizacji ich parametrów, takich jak cechy materiałowe czy eometryczne.

Maksymalizacja siły krytycznej poprzez dobór kształtu przy niezmiennych kosztach materiału albo minimalizacja kosztów kolumny przy zachowaniu wymaganego poziomu siły krytycznej, to dwa zadania programowania nieliniowego w tym kontekście.

Początkowe badania oparto na analizie modalnej, następnie omówiono wykorzystania i weryfikację doświadczalną. Podano także wyniki uzyskane z wykorzystaniem symulacji dynamicznej. Numeryczne rozwiązanie zagadnień początkowych dotyczących zdyskretyzowanych równań ruchu realne jest nawet w wielu przypadkach, w których dotychczas prezentowane metody zawodzą.

W szczególności wpływy nieliniowości oraz czynników losowych mogą być ujęte ilościowo przez zastosowanie technik symulacji dynamicznej. Autorzy, prowadząc wykłady na studiach doktoranckich Politechnik Warszawskiej, Krakowskiej i Koszalińskiej, posiadają nadzieję, że niniejsza książka będzie pomocna młodym badaczom kierunków mechanicznych.

Liczymy na stabilne warunki i dalszy dynamiczny rozwój wyłożonej teorii i jej implementacji w sztuce inżynierskiej.